Kinetyka Punktu Materialnego - Ruch po Okręgu

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego. Jest to ruch okresowy. Powodem zakrzywienia toru w tak charakterystyczny sposób jest siła zwana siłą dośrodkową. Przyśpieszenie ciała jest skutkiem działania siły wypadkowej między przyspieszeniem statycznym, odpowiedzialnym za prędkość oraz przyśpieszeniem dośrodkowym, odpowiedzialnym za zmianę zwrotu zatem zakrzywienie toru. Przyśpieszenie statyczne jest styczne do okręgu i nieustannie zmienia swój kierunek, natomiast przyśpieszenie dośrodkowe zawsze skierowane jest do środka okręgu.

Siła dośrodkowa może mieć różną naturę. Czujemy ją kręcąc się, jako siłę reakcji zwaną siłą odśrodkową, której wartość jest równa sile dośrodkowej natomiast punk przyłożenia oraz zwrot jest inny. WAŻNE: Ponieważ punkt przyłożenia tych siły jest inny siły te nie równoważą się, dlatego je odczuwamy. Innym przykładem siły dośrodkowej jest przyciąganie ziemskie, którego doświadczamy na każdym kroku. Więcej o sile grawitacji w następnych rozdziałach.

Wielkości opisujące ruch po okręgu

T (okres) [s] - czas potrzebny do wykonania jednego pełnego obiegu okręgu

f  (częstotliwość) [1/s=Hz] - liczba pełnych okrążeni w jednostce czasu  

V (prędkość liniowa) [m/s] - prędkość liniowa jest styczna do toru w każdym punkcie toru, kierunek jej ciągle się zmienia. W okresie T punkt materialny obiega obwód koła o długości s = 2πR, wartość prędkości liniowej (szybkość) jest równa V = 2πRf. Promień jest wprost proporcjonalny do prędkości.

α (droga kątowa promienia wodzącego (faza)) [radian] – kąt zakreślony przez promień wodzący jest funkcją czasu α(t). W ruchu po okręgu w czasie Δt punkt materialny zakreśla łuk Δs odpowiadający kątowi α. Miarą kąta α jest stosunek długości łuku, na którym kąt się opiera, do promienia:

Kąt skierowany α jest wektorem osiowym, którego zwrot określamy za pomocą  reguły prawoskrętnej.

ω (prędkość kątowa) [rad/s lub 1/s] – w czasie równym T promień R zakreśla kąt pełny 2π radianów, a w dowolnym czasie t kąt α. Miarą prędkości kątowej jest stosunek zakreślonego kąta od czasu, w którym ten kąt został zakreślony. Wektory ω, R i V tworzą układ prawoskrętny. Wektor ω ma kierunek osi podobnie jak wektor α, zwrot ustalony z wykorzystaniem reguły śruby prawoskrętnej. V =  ω x R (iloczyn wektorowy nie jest przemienny!)

Reguła śruby prawoskrętnej – zwrot wektora α jest zgodny z kierunkiem ruchu postępowego śruby prawoskrętnej ustawionej prostopadle do płaszczyzny okręgu, jeśli kierunek ruchu obrotowego tej śruby jest zgodny z kierunkiem ruchu punktu materialnego po okręgu od A do B. (Istnieją również inne metody, które zostaną omówione później)

TIP: Kupcie sobie długopis, który da się rozkręcić, upewnijcie się, że spirala na nim jest prawoskrętna, teraz możecie łatwo wyznaczyć kierunek wektora ;)

aR (przyśpieszenie dośrodkowe) [m/s^2] – przyśpieszenie dośrodkowe jest równe zmianie wektora prędkości liniowej w jednostce czasu. Wektor przyśpieszenia dośrodkowego ma kierunek promienia, a zwrot do środka okręgu.

ε (przyśpieszenie kątowe) [rad/s2=1/s2]  – przyśpieszenie „epsilon” jest równe zmianie prędkości kątowej w jednostkowym czasie. Wektor przyśpieszenia kątowego ma kierunek prędkości kątowej.

     Zadania:

Zad 1. Oblicz szybkość liniową obrzeża tarczy szlifierskiej o średnicy równej 30 cm. Częstotliwość obrotu tarczy wynosi sześć tysięcy na minutę. 

Dane: d = 30 [cm]  r = 15 [cm] = 0,15 [m]  f = 6000 [1/min]   Szukane: V = ?

Zad 2. W pewnej maszynie dwa koła o promieniach r1 wynoszącym 0,5 m oraz r2 równego 0,125 m są połączone pasem transmisyjnym. Podczas pracy maszyny większe koło wykonuje 3,5 obrotu w ciągu sekundy. Ile obrotów wykonuje koło mniejsze?

Dane: r1 = 0,5 [m]  r2 = 0,125 [m]   f1 = 3,5 [1/s]   Szukane: f2 = ?

Zad 3. Co jaki czas wskazówka minutowa zegarka pokrywa się ze wskazówką godzinową?

Zad 4. Z jaką szybkością musiałby nad równikiem lecieć samolot, aby można było z niego obserwować Słońce zawsze w tym samym punkcie nieboskłonu? Wysokość, na jakiej porusza się samolot, jest znacznie mniejsza od promienia Ziemi.

Zad 5. Oblicz częstotliwość, z jaką obracają się koła samochodu jadącego z szybkością 72 [km/h], jeżeli ich promienie wynoszą 0,3 m.

Zad 6. Po poziomym torze toczy się bez poślizgu koło z prędkością o wartości 4 m/s. Jakie wartości przyjmują chwilowe prędkości punktów A, B, C i D. 

Tego typu zadania sprawdzają czy uczeń rozumie defacto istotę dwóch rodzajów prędkości (również przyśpieszenia).

W toczącym się przedmiocie istnieją dwie prędkości chwilowe Vp czyli prędkość ruchu postępowego oraz Vo czyli prędkość ruchu obrotowego, przy czym prędkość postępowa ma ten sam kierunek i zwrot, a prędkość obrotowa jest styczna do okręgu, zatem zmienia swój kierunek i zwrot. Są to chwilowe prędkości punktów na okręgu. Prowadzi to do sytuacji, gdzie punkt B na samej górze porusza się z dwa razy większą prędkością niż punkty na wysokości środka okręgu, a punkt D nie porusza się wcale!